مفاهیمی از شاخص های قابلیت فرایند در حالت توزیع غیر نرمالp rocess Capability Indices for Non-normal Distribution چکیده: هدف از تحلیل قابلیت فرایند برآورد و کنترل و کاهش تغییرپذیری محصوالت صنعتی در فرایند تولید است. در روش کالسیک برای برآورد فرایند شاخص های قابلیت )PCI( داده ها باید از فرایند تحت کنترل جمع آوری شود و مستقل و هم توزیع )نرمال( باشند. در عمل ممکن است برخی از مقادیر خارج از حدود کنترل باشد در این حالت محصوالت صنعتی درگیر فرایندهای غیرنرمال هستند. بنابراین استفادهی )PCI( ها براساس فرضیه ی نرمال منجر به نتایجی گمراه کننده خواهد شد. در دهه های اخیر تعدیالت و تعمیم های فراوانی برای روش کالسیک در برآورد )PCI( برای حل مسأله ی غیرنرمال بودن داده های مشخصه های کیفیت پیشنهاد شده است. دو رهیافت کلی برای برآورد )PCI( های فرایند غیرنرمال وجود دارد. رهیافت متداول تبدیل داده های غیرنرمال به نرمال توسط روش های تبدیل و سپس کاربرد روش قراردادی نرمال جهت محاسبه ی )PCI( های داده های تبدیل یافته است که روش آسان و درستی ست. تبدیل جانسون و تبدیل باکس-کاکس معرف رهیافت نخست خواهند بود. رهیافت دیگر استفاده از صدک های توزیع غیرنرمال است. روش دوم در اجرا و کاربرد آسان نیست و انحراف در برآورد توزیع فرایند بر کارایی )PCI( های برآورد شده تأثیرگذار است)مانند روش کلمنت 99(. 2 C Pm در صنایع تولیدی برای ارزیابی و برآورد تصمیم خرید, C PK, C p به دلیل کاربرد گستردهی فرایند شاخص های قابلیت فرایند مانند به این مبحث مهم نیز می پردازیم. در این راستا وو و کو )2004( 3 به برآورد حجم تقریبی نمونه ی مورد نیاز جهت دستیابی به کران اطمینان مطلوب با سطح اطمینان مشخص شده برای استنباط شاخص های باال پرداخته اند. واژه های کلیدی: شاخص های قابلیت فرایند توزیع نرمال داده های غیرنرمال چولگی پایایی. - مقدمه در صنعت از شاخص های قابلیت برای تشخیص قابلیت فرایند ساخت محصوالت استفاده می شود که نقش بسزایی در فرایند کنترل کیفیت مؤسسات مهندسی بزرگ دارند. افزون براین می توان گفت که تحلیل کارایی)قابلیت( فرایند استاندارد متداول و متعارفی برای بررسی کیفیت از دیدگاه تولیدکننده و مشتری است. روش عامه پسند برای تحلیل کارایی فرایند استفاده از PCI گردآوری و نوشته ی: - صدیقه یوسفی دانشجوی کارشناسی ارشد آمار ریاضی 2- غالمرضا محتشمی برزادران* گروه آمار دانشگاه فردوسی مشهد 3 -محمد باقر مقدس زاده گروه آمار دانشگاه پیام نور مشهد * عهده دار مکاتبات: gmb334@yahoo.com تاریخ دریافت: 9/2/4 تاریخ پذیرش: 90/3/7 است. در حقیقت می توان گفت که PCI برای بیان رابطه ی بین کارایی واقعی فرایند و آنچه براساس تقاضا و نیازمندی تعیین شده طراحی شده است. برای نخستین بار جوران )974( 4 شاخص های قابلیت را نسبت دامنه ی رواداری 5 فرایندبهمعیارتغییرپذیریچندگانه برای مشخصه های مورد بررسی تعریف نمود. پس از آن کین )96( 6 مقایسه -Process Capability Indices 2-Clement 3-Wu and Kuo 4-Juran 5- Tolerance 6- Kane 55
Quality Control و بحث هایی را پیرامون PCI ها و برآوردشان که هم اکنون نیز کاربرد گسترده یی دارد مطرح کرد. عالوه براین او نوع جدیدی C PK ی مرتبط با تلرانس متقارن را معرفی کرد. C p و از C PK بهدلیلوابستهنبودنبهمقدار C p و بویلز ) 99 (میگویدکه هدف T 2 شاخص های بنیادی مفیدی هستند. به این دلیل چان 3 و همکاران) 9 ( شاخص C را که دربرگیرنده ی مقدار هدف pm فرایندنیزهست معرفیکردند. استفاده ی درست از شاخصهای قابلیت بر مبنای فرض هایی است)مانند پایایی و توزیع تقریبی نرمال( که در عمل همواره این فرض ها برقرار نیست بنابراین به درستی منعکس شدن اجرای فرایند در حاالت توزیع غیرنرمال جای بحث دارد. انگلیش و تیلور 4 )993( با بررسی تأثیر فرضیه ی غیرنرمال بودن روی PCIها به C p حساستربهانحراف C PK نسبتبه ایننتیجهرسیدندکه از فرضیه ی توزیع نرمال است. همچنین کتز و جانسون )9( 5 پرن و چن ( 6 995 و 996( تانگ و چن )99( 7 و چن و دینگ ) 200 (تحقیقاتیپیرامون PCIهایغیرنرمالانجامدادهاند. دراینمقالهسعی بر آن است که پسازمعرفیشاخصهایقابلیت فرایند به بررسی روش های برآورد این شاخص ها در حالت توزیع غیر نرمال می پردازیم. سر انجام چند روش برای برآورد حجمنمونهیPCI هامعرفیخواهدشد. -2 اساس PCI C p معیار قابلیت سنتی متداول فرایند به صورت زیر شاخص تعریفشدهاست]کین 96 [ )( Cقادربهدرنظرگرفتنمقدارهدفنیست ازاینروکین) 96 ( P شاخص C pk را به صورت زیر معرفی کرد: )2( که در آن, C و C معیارهای یک طرفه ی فرایند هستندزیرا تنها Pl pu یک حد مشخصات فنی را در بر می گیرند به طوری که: در عمل پارامترهای µ و σ با برآوردهای و که به Xگرفتهشده محاسبهمیشوند: n )5( وسیله ی نمونه ی,, x تاگوچی )95( 9 برآوردکننده ی زیر را برای σ پیشنهاد کرده است: )6( 3 -محاسبهی PCI برایدادههایغیرنرمال برخیازروشهایمعرفیشدهدراینبخشمانندتبدیلجانسون رسمنموداروتبدیلکلمنت درصنعتبسیارکاربرددارند هرچند روش باکس-کاکس تاکنون ناشناخته بوده است. باید توجه داشت زمانی که توزیع تحت بررسی نرمال باشد از لحاظ فرض علمی C p تمامروشهابجزروشآزادتوزیع منجربهنتایجیکسانیبرای C pk می شود. و -3 :نموداراحتمال یک روش پذیرفته شده ی عمومی برای محاسبه ی PCI استفاده ازنموداراحتمالنرمالاست بهطوری کهمیتوانهمزمانفرضیهی C p را بر حسب صدک ها 0 می توان نرمالراتحقیقکرد.شاخص به صورت رابطه ی) 7 ( بازنویسی کرد. )7( L P صدک Uصدک P باالیی)یعنی 99/65 درصد از مشاهدات(و که پایینی )0/35 درصد از مشاهدات( است.این صدک ها را میتوانبهراحتیازکدرایانهییسادهکهنموداراحتمالرانمایش میدهد بدستآورد. بهدلیلاینکهمقدارمرکزیمفیدبرایتوزیعهایچوله*مقدارمیانه و C pl رامیتواناینگونهتعریفکرد: C pu است )( )3( C pl است. C pu و که C pk برابر بامینیمم C Pm به صورت زیر تعریف می شود: شاخص )4( -Boyles 2-Target value 3-Chan 4-English and Taylor 5- Kotz and Johnson 6- Pearn and Chen 7- Tong - Ding 9-Taguchi 0- Percentiles * در علم آمار و نظریه ی احتماالت چولگی نشان دهنده ی میزان عدم تقارن توزیع احتمالی است)ویراستار( 56 نشریه ی صنعت الستیک ایران/ شماره ی 63
Quality Control کنترل کیفیت 2-3: فاصله ی رواداری آزاد توزیع C pk C p و چان و همکاران) 9 ( روش زیر را برای محاسبه ی درفرایندغیرنرمالپیشنهادکردهاند: به طوری که خواهد بود همچنین: )2( 4-3: روشکلمنت Uراجایگزین p -L p C p در معادله ی )( مقدار کلمنت در فرمول 6 σ کرد: )3( که U p صدک 99/65 و L p صدک 0/35 مشاهدات است با استفاده از تساوی های باال داریم: بهطورمشابهبابازنویسی C pk خواهیم داشت: )9( که wدامنه ی فاصله ی رواداری با پوشش 99/73 درصد در 95 درصد اوقات w 2 دامنه ی فاصله ی رواداری با پوشش 95/46 درصددر 95 درصد مواقع و w 3 دامنهیفاصله ی رواداری با پوشش 6/26 درصد در 95 درصد بازه زمانی است.برآوردآمارههایمرتب w 2 و w 3 براساسفرضیه ی نرمال در مقاله ی چان و همکاران) 9 ( تحت عنوان روش گرافیکی برای فرایند قابلیت آورده شده است. در این روش محافظه کارانه هموارهدامنهیطبیعیفرایند بزرگترازبرآوردیستکهبا توجه به تغییرپذیری نمونه گیری انجام می پذیرد. روش آزاد توزیع تنها روشی است که منجر به نتیجه ی متفاوتی می شود ولو آن که توزیعتحتبررسینرمالباشد. : 3-3 روش واریانس وزنی چو و بای )996( 2 روش ابتکاری واریانس وزنی را برای سازگار کردن مقادیرPCIها براساس درجه ی چولگی 3 جامعه پیشنهاد کرده P x احتمال کمترمساوی بودن متغیر فرایند )X( ازمیانگین اند. اگر µ باشد.یعنی: ) 0( I x خواهد شد. که I(x)= برای 0<x وبرای 0>x مقدار 0= PCIهای واریانس وزنی به شکل زیر درمی آید: و توسط گراسکا 4 و همکاران )99( تعیین شده است. میانگین فرایند µ در C توسط میانه ی M برآورد می گردد. همچنین pk Uو M L برآورد p p M- به ترتیب به وسیله ی C ها در σ pk میشود.بنابراینداریم: )4( در روش کلمنت از برآوردگرهای کالسیک چولگی)عدم تقارن( و کشیدگی 5 )درجه ی اوج یک نمودار آماری( که به ترتیب بر اساس گشتاورهای سوم و چهارم هستند استفاده می شود که تا حدودی براینمونههایباحجمکم غیرقابلاعتمادهستند. 5-3: تبدیلتوانباکس-کاکس باکس و کاکس )964( 6 خانواده ی مفیدی از تبدیالت توان را تحتمتغیرپاسخالزاما مثبت X معرفیکردند: این خانواده ی پیوسته به تک پارامتر استفاده از روش ماکزیمم درست نمایی برآورد می گردد: که در آن : بنابراین معادله ی: بستگی دارد که با )( -Order statistic 2- Choi and Bai 3-Kurtosis 4-Gruska 5-Skewness 6-Box and Cox 57
Quality Control برآورد برای ی ثابت است به طوری که مجموعمربعاتماندهدرآنالیزواریانس است.پسازمحاسبهی برای مقادیر مختلف که در حدود دامنه هستند برخالف می توان نمودار را رسم کرد. در ازای مقدار بهینه ی* و هر حدود مشخصات داده ها تبدیل به متغیر نرمال می شود. PCI های متناظر را می توان به کمک میانگین و انحراف معیار داده های تبدیل یافته و معادالت ) ) و )2( محاسبه کرد. 6-3: تبدیلجانسون جانسون سیستمی از توزیع ها را بر اساس روش گشتاوری مشابهقاعدهیپیرسن بسط داده است. شکل کلی تبدیل به صورت زیر داده می شود: )5( کامل توزیع های نرمال وtرا شامل می شود. هان وشاپیرو )967( 4 نمودارهایی برای تعیین برآورد و براساس مقادیر چولگی و کشیدگی ارائه داده اند. )S B 3 (-روش کران دار ( )( این خانواده توزیع های کران دار که شامل گاما بتا و... است را دربرمی گیرد. به دلیل اینکه توزیع می تواند از پایین کران کران باالیی یا هر دو طرف کراندارباشد حاالت زیر را خواهیم داشت: حالت اول: دامنه ی تغییرپذیری معلوم است. در حالتی که کران ها مشخصباشد پارامترهابهصورتزیرحاصلمیشود. )9( به طوری که z متغیر نرمال استاندارد و X متغیر حاصل شده از توزیع جانسون است. چهار پارامتر و باید برآورد گردد و تابعی دلخواه است که یکی از سه حالت زیر را در برمی گیرد: )S L (-سیستمل گنرمال ( 2 )6( حالت دوم: یکی از کران ها معلوم است. در این حالت تساوی زیر برایتکمیلمعادالت) 9 ( موردنیازاست. Sمعادلهی L جانسوناستکهخانوادهیلگ رابطهی) 6 ( توزیع نرمال است.الزمه ی برآورد پارامترها عبارتند از: که 00 امین صدک داده ها به عنوان امین مقدار رتبه بندی شده از n مشاهده به دست می آید. اگر الزم باشد می توان از درون یابی خطی 3 بین مقادیر متوالی برای تعیین صدک های مورد نیازاستفادهنمود. 2 (-روش بیکران ( ) )7( حالت سوم: هر دو کران مجهول است که باید چهار صدک داده ها را با صدک های متناظر توزیع نرمال استاندارد مطابقت داد. تساوی های حاصل شده به ازای i=,2,3,4 غیر خطی استکه باید به روش های عددی حل شو د. )20( منحنی ها در خانواده ی بیکران است. این خانواده به طور الگوریتم هیل 5 وهمکاران )976( برای مطابقت چهار گشتاور ابتداییX در خانواده ی توزیع های باال کاربرد دارد. همانند گذشته شاخص های قابلیت از فرمول های ) ) و ) 2 (محاسبهمیشود. -Pearson method 2-The Lognormal system 3-Linear interpolation 4- Han and Shapiro 5- Hill نشریه ی صنعت الستیک ایران/ شماره ی 63 5
Quality Control کنترل کیفیت )C s :7-3 PCI رایت) C s معرفی کرد که ضریب چولگی رایت شاخص قابلیتی به نام تصحیح شده را در بر می گیرد: )2( µگشتاورمرکزیمرتبهیسومدادههااست. 3 بهطوریکه T=µو C بااستفادهازروش pk های باید توجه داشت که برآورد C و p گوناگوننشان دهنده ی درجات مختلف تغییرپذیریخواهدبود. C p می شود زیرا بهویژهافزایشحجمنمونهمنجر بهتغییرپذیری توزیعنمونهتحتفرضیهینرمال است.اماتغییرپذیری C برای pk هرحجمنمونهیمنطقی کامالمعناداراست )تانگوهمکاران 997 (. 4 -تعیینحجمنمونهبرایبرآورد PCI در این بخش فرض می کنیم که فرایند تحت کنترل و دارای توزیع نرمال است. چو و همکاران )990( حدود اطمینان پایین 95 درصد را برای برآورد C و C pk به دست آوردند. متأسفانهمقادیر p جدول بندی شده براساسفرضهایمعینیهستندکهدر بسیاریازموارد کاربردینیست.کاشلروهارلی 2 ) 992 (همچنین فرانکلین و وازرمن )992( 3 فرمول های تقریبی مفیدی را برای رفع اینکمبودارائهدادهاند.دراینراستا پرنوهمکاران ) 992 (بحثی پیرامونویژگیهایاستنباطیوتوزیعی PCI مطرحکردهاند.کوتز و الوالس )99( 4 به طور جامع به مرور این شاخص ها پرداختند. C p -4 :حجمنمونهیتقریبیبرایکراناطمینانیاز برآورد شاخص قابلیت C به صورت زیر است که در آن: p است: )22( کین) 96 (ثابت کرد که: )23( از رابطه ی )23( چو و همکاران )990( کران اطمینان دقیق C p به حالت زیر به دست آوردند: پایین 00 درصد را برای )24( که نشاندهنده ی امینچارک X 2 با -n درجه ی آزادی است.بنابراین دامنه ی کران اطمینان پایین برای عبارت است از: )25( با این وجود تعیین از فرمول ) 25 (ساده نیست زیرا تابعیاز است.البتهبااستفادهازاینواقعیتکهتوزیع هنگامی که نرمال استاندارد می شود داریم: )26( تقریب )26( برای Vهای بزرگ صادق خواهد بود. به کمک توزیع مجانبی نرمال توابع مختلفی از می توان تقریب های بهتری به دست آورد. از تقریب های ساده ی شناخته شده به ترتیب فیشر )992 5 ) و ویلسون-هیلفرتی )93( 6 تقریب های بهتری به شکل زیرمعرفینمودند. )27( )2( که چارک* ام در توزیع نرمال استاندارد است. تقریب )2( صحیح تر از تقریب های )27 ) و )26( است. با استفاده از تقریب فیشر رابطهی) 27 ) و ) 23 (کراناطمینانپایین 00 درصد برای به شکل زیر است: )29( صرف برای باید توجه کرد که می توان از نظرکرد بنابراین: )30( -Chou 2-Kushler and Hurley 3- Franklin and Wasserman 4-Lovelace 5- Fisher 6- Wilson-Hilferty * چارک معادل واژه یQuartile انتخاب شده است. چارک های اول و دوم و سوم به ترتیب معادل صدک های 75 50 25 است)ویراستار( 59
Quality Control باکمکرابطهی )2 ) و ) 23 (کراناطمینانپایین برای به صورت زیر حاصل می شود: )3( 00 درصد جدول 2 :کراناطمینانپاییندقیقاطمینانبرای بااستفادهازتقریبفیشر. که برای می توان عبارت را نادیده فرض کرد. بنابراین به شکل زیر در خواهدآمد: )32( C p معرفی کرد ه ولین )9( حدود اطمینان متفاوتی را برای که براساس فرمول تقریبی برای گشتاور است. همچنین او کران پایین اطمینان دیگری برای به صورت زیر به دست آورد: )33( جدول 3 :کران اطمینان پایین دقیق اطمینان برای ویلسون-هیلفرتی. بااستفاده از تقریب 67 6 26 269 که با نادیده گرفتن عبارت خواهیم داشت: برای جدول 4 :کراناطمینانپاییندقیقاطمینانبرای بااستفادهازتقریبهولین. )34( 2 2 جدول های تا 4 کران اطمینان پایین 95 و 99 درصد را برای نشان می دهند که به ترتیب از فرمول های )25( )29( )3 ) و )33( حاصل شده اند. این جدول ها نشان می دهند که تقریب ویلسون-هیلفرتی دارای نتایج مشابه تر به توزیع کیدو است. بنابراینروشویلسون-هیلفرتیدقیقترازسایرتقریبهاست. جدول :کراناطمینان پایین دقیقاطمینانبرای بااستفادهاز. χ 2 باید توجه داشت که وابستگی به به دلیل است که ازفرمولهای) 32( )30 ) و ) 34 (حاصلمیشود.درجدولهای 6 5 و 7 حجمنمونهیتقریبی برایکرانهایاطمینان پایین 95 و 99 درصد ارائهشدهاست.بهکمکحجمنمونههایتقریبی موجود در جدول ها می توان به لزوم وجود نمونه های بزرگ برای دستیابیبهدامنهیاطمینانپایینمفیدپیبرد. باتوجهبهجدول) ( تمامحجمنمونههایموجوددرجدول) 6 ( کم تخمین زده شده اند که دلیل عمده ی آن نادیده گرفتن عبارت در محاسبه ی حجم نمونه است. پس از بررسی -Heavlin نشریه ی صنعت الستیک ایران/ شماره ی 63 60
Quality Control کنترل کیفیت جدول ها و نتایج حاصل از آن ها استفاده از جدول ) 3 (پیشنهاد می شود. جدول 5 :حجمنمونهیتقریبیبااستفادهازتقریبفیشر بنابراین رابطه ی )36( به صورت زیر درخواهدآمد: )37( با حل از رابطه ی) 37 ( داریم: )3( 99% 95% جدول 6 :حجمنمونهیتقریبیبااستفادهازتقریبویلسون-هیلفرتی ازرابطهی) 3 (میتواننتیجهگرفتکهوابستگی به به دلیل است. جدول ) 9 ( حجم نمونه ی تقریبی برای کران هایاطمینانپایین 95 و 99 درصد را نشان می دهد. فرمولتقریبی) 3 ( احتیاجبهنمونههایبزرگبرایدستیابیبه Cراتاییدمیکند. pk کراناطمینانپایین مفیدیبرای 99% 95% C بااستفادهازتقریببیسل pk جدول :دامنه یاطمینانپایینبرای جدول 7 :حجمنمونهیتقریبیبااستفادهازتقریبهولین 99% 95% C pk 2-4: حجمنمونهیتقریبیبرایدامنهیاطمینان رابطهی برآوردکننده ی شاخص قابلیت فرایند C را میتوان به pk صورت زیر تعریف کرد: ) 35( جدول 9 :حجمنمونهیتقریبیبااستفادهازتقریببیسل C pm 3-4 :حجمنمونهیتقریبیبرایکراناطمینانی از رابطه ی برآوردکننده ی شاخص به صورت زیر تعریف می شود: )39( توزیع نمونه ی C مشکل تر و پیچیده تر از C p است. کاشلر pk و هارلی )992( تذکر دادند که تقریب بیسل )990( محاسبه ی سادهترونسبتا درستتریدارد.در این راستا فرانکلینووازرمن )992( به وسیله ی شبیه سازی نشان داده اند که روش بیسل برای در حد اطمینان 95 درصد برای C مناسب است. pk کراناطمینانپایینبیسلبهصورتزیراست: )36( -Bissel 6 C pk نشان در جدول چند کران پایین اطمینان تقریبی برای داده شده است. برای داریم
Quality Control از چان و همکاران )9( می دانیم: )40( توزیع غیرمرکزیبا nدرجهیآزادیوپارامتر که است. بنابراین غیرمرکزی درصد برای کران اطمینان پایین دقیق به صورت زیر به دست می آید: )4( پیشنهاد بویلز) 99 ( تقریب بهتری برای توزیع کرد که پیش از آن توسط پتنیک )949( مطرح شده بود: )42( توزیع کیدو با درجه ی که 2 آزادی و پارامتر غیر مرکزی: است. بنابراینرابطهی) 40 (بهصورتزیرتغییرمیکند: )43( را نادیده می توان عبارت در این تقریب نیز برای داریم: فرض کرد. از حل معادله برحسب )4( جدولهای 0 و 3 کراناطمینانپایین 95 و 99 درصد نشان می دهند که به ترتیب از فرمول های )4( را برای )44( )45 ) و )47( به دست آمده اند. این جدول ها همانند نشان می دهند که تقریب ویلسون-هیلفرتی شبیه تر به توزیع کیدو است.بنابراینروشویلسون-هیلفرتیدقیقترازتقریبفیشراست. غیرمرکزی بااستفادهاز جدول 0 :کراناطمینانپاییندقیقبرای بااستفادهازرابطهی) 43 (دامنهیاطمیناندقیقپایین به صورت زیرمی شود: درصد برای )44( همانند تقریب های ساده ی مشهور فیشر و ویلسون-هیلفرتی است که به ترتیب در فرمول های )27( و) 2 ( آمده است. به کمک درصد برای آن ها کران اطمینان دقیق پایین عبارت است از: )45( رانادیده فرض می کنیم. بنابراین عبارت برای به شکل زیر درمی آید: )46( جدول :کراناطمینانپایینبرای جدول 2 :کراناطمینانپایینبرای بااستفادهازتقریب بااستفادهازتقریبفیشر 9 67 95 0/900 95 0/9002 70 7 275 276 52 53 206 207 9 3 92 20 9 3 92 9 9 4 حال به کمک رابطه ی) 2 ( و فرمول )43( کران اطمینان دقیق پایین درصد برای به شکل زیر است: )47( -Patnaik نشریه ی صنعت الستیک ایران/ شماره ی 63 62
Quality Control کنترل کیفیت جدول 3: کراناطمینان پایین برای هیلفر تی بااستفادهاز تقریب ویلسون- بایداشارهشودوابستگی به بهدلیل است که به راحتی از فرمول های )46( و) 4 ( به دست می آید. در جدول های 4 و 5 حجم نمونه ی تقریبی برای کران های اطمینانپایین 95 و 99 ارائه شده است. از لحاظ کاربردی حجم نمونه ی تقریبی فرضیه ی لزوم وجودنمونههایبزرگبرایدستیابیبهکراناطمینانپایینمفیددر را تقویت می کند. وضعیت برای متفاوت از است زیرا زیاد برآوردکردن از جدول )3 (واضح است. این اریبی را می توان با نادیده گرفتن درستکرد.بنابراینبرای این شاخص استفادهازجدول 5 نسبت به 3 برتری دارد. جدول 4 :حجمنمونهیتقریبی با استفاده از تقریب فیشر 4-4 :مثالتوضیحی دادههایجدول) 5 (مونتگمری ) 200 ( برایتوضیح روش های معرفی شده استفاده می شود. این مثال شامل داده هایی برای فرایند ساخت رینگ های پیستون تولید شده در موتور اتومبیل است. برای 25=n قطر داخلی رینگ های حاصل از فرایند تولید اندازه گیری شده است. حدود باال و پایین قطر داخلی رینگ های کنترل شده و مقدار هدف 74 است. میانگین و انحراف از استاندارد داده های حاصل از نمونه ها به - و است. بنابراین ترتیب X=74/0076 S=0/0006997 شاخصهایقابلیتفرایندمحاسبهشدهعبارتنداز: خواهد بود که توسط و 0363 = 0/ بویلزپیشنهادشد.بهعنوانمثال برایبهدستآوردنکراناطمینان پایین 99 درصد برای C pk = 0.9 C pk = 0.9x.6=.449 حجم نمونه ی پیشنهادی از رابطه ی) 3 ( به صورت زیر حاصل می شود :. به طور مشابه کران اطمینان پایین 99 درصد برای C به pm صورت زیر به دست می آید: C pm =0.9C Pm =0.9x.64=.475 حجمنمونه ی پیشنهادی از رابطه ی) 3 ( عبارتخواهدبوداز: 66 67 267 9 2 34 35 37 26 49 50 0 3 25 26 200 20 02 03 2 9 3 69 0/002 حداقل برآورد حجم نمونه ی 294 و 262 بدستمیآیدکه جدول 5: حجمنمونه ی تقریبی با استفاده از تقریب ویلسون-هیلفرتی ضمانت اجرایی آن در سطح 99 درصد مطابق کران اطمینان پایین برای و به ترتیب /449 و /476 است. در نهایت در جدول های 7 6 و نتایج برای نسبت های مختلفی از 26.3420. اطمینان 95 و 99 درصد ارائه شده است. Cبهروشپیشنهادشده p جدول 6 :حجمنمونهیتقریبیبرای و در سطوح -Montgomery 63
Quality Control جدول 7 :حجمنمونهیتقریبیبرای جدول :حجمنمونهیتقریبیبرای بهروشپیشنهادشده بهروشپیشنهادشده : 5-4 نتیجهگیری در این مقاله به بررسی شاخص های قابلیت فرایند در حالت غیرنرمال و محاسبه ی آن ها پرداخته شد. ما به این نتیجه رسیدیم زمانی که توزیع تحت بررسی نرمال باشد از لحاظ فرض علمی تمام روش ها بجز روش آزاد توزیع منجر به نتایج یکسانی برای شاخص های قابلیت) PCI (میشود.همچنیندربرآوردحجمنمونه بهکمکفرمولهای) 36( )3 ) و ) 47 ( میتوانکرانپاییناطمینان C pm C pk C p درصد را برای شاخص های قابلیت برآورد کرد. این برآوردها نسبتا برای 30 > n دقیق هستند. در واقع این فرمول های تقریبی برای نمونه های با حجم بزرگ منجر به کراندقیقتریمیشود.جدولهای و 9 نشانمیدهدکهمقادیر بزرگتر مطابق با حجم نمونه ی کوچکتر است. همچنین با توجه به جدول های 0 ت ا 5 میتوانگفتمقادیرکوچکتر با حجمنمونههایبزرگترمتناظرخواهدبود. 95% 99% 95% 99% مراجع [] Bissell, A. F. (990). How reliable is your capability index? Applied Statistics, 39, 33-340. [2] Box, G. and Cox, D. (964). An analysis of transformation. J. R. Statist. Soc. 26, 22 252. [3] Boyles, R. A. (99). The Taguchi capability index. Journal of Quality Technology, 23,, 7-26. [4] Chan, L. K., Cheng, S. W. and Spiring, F. A. (9). A new measure of process capability: C pm. Journal of Quality Technology. 20, 62-75. [5] Chen, J. P. and Ding, C. G. (200). A new process capability for non-normal distributions. International Journal of Quality and Reliability Management,, 762-770. [6] Choi, I. S. and Bai, D. S. (996). Process capability indices for skewed population. Proc. 20 th Int. conf. on Computer and Industrial Engineering, 2-24. [7] Chou, Y. M., Owen, D. S. and Borrego, A. (990). Lower confidence limits on process capability indices. Journal of QualityTecnology 22, 223-229. [] Clements, A. J. (99). Process capability indices for non-normal Calculations. Qual. Prog., 22, 49 55. [9] English R. J. and Taylor, D. G. (993). Process capability analysis-a robustness study. Int. J. Prod. Res., 3, 62 635. [0] Fisher, R. A. (992). On the interpretation of χ 2 from contingence tables and calculation of p. Journal of the Royal Statistical Society, 5, 7-94. [] Franklin, L. A. and Wasserman, G. S. (992). A note on the conservative nature of the tables of lower confidence limits for C pk with a suggested correction. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 2, 65-69. [2] Gruska, G.F., Mirkhani, K. and Lamberson, L.R. (99). Non-normal Data Analysis. Multi face Publishing Co, Michigan. [3] Hahn J. G. and Shapiro S. S. (967). Statistical Models in Engineering. Wiley, New York. [4] Heavlin, W. D. (9). Statistical properties of capability indices. Technical Report No.320, Tech. Library, Advanced Micro نشریه ی صنعت الستیک ایران/ شماره ی 63 64
Quality Control کنترل کیفیت Devices, Inc., Sunnyvale, CA, 24. [5] Hill, I. D. Hill, R. and Holder, R. L. (976). Fitting Johnson curves by moments algorithm ASA 99. Appl. Statist., 25, 0 9. [6] Juran, J. M. (ed.) (974). Quality Control Handbook. 3rd ed. New York, McGraw Hill. [7] Kane, V.E. (96). Process Capability Indices. Journal of Quality Technology,, 4-52. [] Kotz, S, and Johnson, N. L. (993). Process Capability Indices. Chapman & Hall, London. [9] Kotz, S, and Lovelace, C. R. (99). Process Capability Indices in Theory and Practice. Arnold, New York. [20] Kushler, R. H. and Hurley, P.(992). Confidence bounds for capability indices. Journal of Quality Technology, 24, -95. [2] Montgomery, D. C. (200). Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, New York. [22] Patnaik, P. B. (949). The non-central χ 2 and F-distributions and their approximations. Biometrika, 36, 202-232. [23] Pearn, W. L., Kotz, S. and Johnson, N. L. (992). Distributional and inferential properties of process capability indices. Journal of Quality Technology, 24, 26-23. [24] Pearn, W. L. and Chen, K. S. (995). Estimating process capability indices for non-normal Pearsonian populations. Qual. & Reli. Eng. Int.,, 39-3. [25] Pearn, W. L. and Chen, K. S. (996). A Bayesian- like estimator of C pk. Com. In Stat., sim. And Comp., 25, 32-329. [26] Taguchi, G. (95). A tutorial on quality control and assurance. The Taguchi Methods ASA Annual Meeting. Las Vegas, Nevada. [27] Tong, L. I. and Chen, J. P. (99). Lower confidance limit of process capability indices for non-normal process distributions. Int. Journal of Reli. And Manag., 5, 907-99. [2] Wilson, E. B. and Hilferty, M. M. (93). The distributions of Chi-square. Proceedings of the National Academy of Sciences, 7, 4-6. [29] Wu, C. C. and Kuo, H. L. (2004). Sample size determination for the estimate of process capability indices. Information and Management Sciences,, -2. نقطه ی چرخش راهبردی در کسب و کار هنگامی است که تعادل نیروها از ساختار کهن از روش های کنونی انجام کار و از راه های جاری رقابت به روندی تازه روی می آورد. نقطه ی چرخش راهبردی چه هنگامی آشکار می شود پیش خود تصور کنید که با یک گروه به گردش و پیاده روی در جنگل رفته و راه را گم کرده اید. یکی از همراهان حساس و کم حوصله از راهنما می پرسد: مطمئن هستید که راه را درست می رویم آیا گم نشده ایم راهنما با دست او را کنار می زند و به راه خود ادامه می دهد. ولی به دلیل ندیدن ردپا مسیر و عالمت های آشنا رفته رفته ناشکیبایی گسترش می یابد. دست آخر در نقطه یی راهنما توقف می کند سر خود را کمی می خاراند و با ناخشنودی می گوید: بله بچه ها مثل اینکه گم شدیم! در زمینه ی کسب و کار چنین مرحله یی نقطه ی چرخش راهبردی است. اندرو- اس-گرو 65